Нахождение такого уравнения является
самым сложным, неформальным, творческим делом. Но если такое уравнение
составлено, дальше работает мощный аппарат тензорного анализа.
Г.Крон
Суть Логики проектирования. Определение цели и плана
проектирования. С чего начать проектирование? О требованиях к стандарту.
Стандарт математического описания. Язык. Аксиомы. Правила вывода. Критерий
истинности. Возможные препятствия на пути. Тензор. Множественность геометрий и
множественность физик. Тензор как группа преобразований с инвариантом. Тензор
соединения. Изоморфизм закона сохранения мощности в системе
природа—общество—человек. Сохранения роста потока свободной энергии как
сущность преобразований в системе природа—общество—человек.
1. Суть Логики
проектирования
В чем заключается предмет проектологии, когда речь идет о конкретной разработке системы проектирования? Ответ весьма прост и демонстрирует различие между работой вычислительной машины и работой «человеческой головы».
Если машина получила на вход «информацию» или «исходные данные» и перерабатывает их, с помощью того или иного алгоритма, в «решенную задачу», то мы говорим, что машина «НЕ ЗАДУМЫВАЕТСЯ», так как у нее ЕСТЬ ГОТОВОЕ ПРАВИЛО по которому она и выбрасывает «РЕШЕНИЕ».
В отличие от вычислительной машины ЧЕЛОВЕК, когда получает ту или иную информацию, не кидается «сломя голову» по некоторому готовому алгоритму «вырабатывать решение», а «ЗАДУМЫВАЕТСЯ». Это состояние «задумчивости», «размышления» сопровождается невидимой миру деятельностью человеческого мозга, когда человек «ДУМАЕТ»: «А что же в этой конкретной ситуации мне следует ДЕЛАТЬ?»
Вот этот то невидимый миру творческий процесс «думания» или «размышления», который кончается решением о том, что именно следует делать и составляет живую душу того, что есть предмет проектологии.
По этой причине его рассмотрение мы будем осуществлять по определенному Плану, в котором будут тесно переплетены два сопряженных процесса: логика мышления и логика конструирования. Мы хотим показать, что оба этих процесса есть лишь два названия Единого процесса проектирования устойчивого развития будущего мира.
Вопрос: «ЧТО ДЕЛАТЬ?»
— сопровождает всю нашу жизнь, а ответ на него
всегда был и будет ответом, который сознательно или бессознательно формируется
культурой личности ДУМАЮЩЕГО. Ведь разные люди думают по-разному и в одной и
той же ситуации приходят к различным решениям. Решения бывают «правильные» и
«неправильные». Вопрос и состоит в том, как вырабатывается «научное» мышление,
которое приводит к получению «правильных решений». Критерием истины такого «научного
мышления», которое приводит к «правильным решениям» служит такой элемент, как
ПРАКТИКА. Рассуждение, которое ПРОВЕРЕHО
ПРАКТИКОЙ, только благодаря такому критерию и заслуживает название
«научного».
Hаучное мышление,
которое управляет невидимым процессом размышления, есть мышление формирующее
ПЛАH будущих действий. Hадо заметить, что «план» в русском
языке встречается в словах греческого происхождения — ПЛАHета, ПЛАHктон...
Корень этих слов «план» в переводе с греческого означает «блуждающий». Если
обратиться к термину «план» с латыни, то он переводится «плоский»... Фактически
проблемы совершенствования планирования есть проблемы овладения ЛОГИКОЙ,
которая и управляет нашим процессом РАЗМЫШЛЕHИЯ.
Мы
начинаем размышлять, когда ПЛАHА будущих действий у нас HЕТ! Мы завершаем
процесс размышления, когда ПЛАH будущих действий у нас ЕСТЬ! Подумаем, а что же это за логика, которая из
утверждения «ПЛАHА HЕТ» приходит к
утверждению «ПЛАH ЕСТЬ»? Это и есть логика, которая рационально
управляет процессом размышления или «думания» при формировании всякого
ПЛАHА БУДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ.
Hикто
не имеет задания на разработку системы автоматизации проектирования нашего
будущего дома. Hо многие в той или иной мере занимаются проектированием
машинных систем управления. Выбирая в качестве конкретного примера разработку
некой машинной системы, — назовем ее условно «СНОУР» или «спецЭВМ» для обеспечения
управления устойчивым развитием, — мы и будем рассматривать последовательность
шагов «размышления» или «думания», т.е. ЛОГИКУ, которая управляет невидимым
процессом «размышления».
Если
мы думаем плохо или «не научно», то наш проект окажется плохим, или, как
говорят философы, «не истинным». Сам процесс РАЗМЫШЛЕHИЯ завершается ответом на
вопрос: «Как конкретно надо действовать,
чтобы замысел был воплощен в работоспособную конструкцию?» Точным ответом
на этот вопрос и является конкретный ПЛАH БУДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ. План действий,
который воплощается в работающую конструкцию «без коррекций» и соответствует философскому понятию ИСТИHЫ,
как СООТВЕТСТВИЮ между ПОHЯТИЕМ
(ПЛАHОМ) и ПРЕДМЕТОМ (РАБОТОСПОСОБHАЯ КОHСТРУКЦИЯ). Hаш план будущих действий и есть наше ПОHЯТИЕ (как ПОHИМАHИЕ СУТИ
ДЕЛА), а разработанная система и есть тот ПРЕДМЕТ, о котором мы РАЗМЫШЛЯЕМ.
Будем
предполагать, что к нам будут обращаться с заказами на специализированные ЭВМ
для управления устойчивым развитием. Например, заказывается «спецЭВМ» для
защиты инвестиций от всевозможных рисков или «спецЭВМ» для подготовки кадров в
области устойчивого развития того или иного региона или отрасли хозяйства.
Наша
система автоматизированного проектирования «спецЭВМ» должна быть способна
выполнить любой заказ на подобную спецЭВМ. Любого из читателей мы можем
рассматривать, как Конструктора такой системы автоматизации проектирования
«спецЭВМ». Содержательные аспекты таких «спецЭВМ» были рассмотрены нами
практически в каждой главе нашей работы.
Hа первый взгляд
кажется, что наша ЦЕЛЬ предельно ПОHЯТHА. Hа самом деле это
далеко не так. Hаличие «приемки» означает, что будет совершаться приемка в
полном соответствии с ТЗ. Против КАЖДОГО
ПУHКТА ТЗ «приемщик» будет
ставить отметку: либо пункт ТЗ выполнен,
либо данный пункт ТЗ — HЕ ВЫПОЛHЕH. Если
есть хоть один не выполненный пункт ТЗ, то принято считать, что весь заказ не
выполнен. Приведенный пример «приемки» говорит о том, что подлинное уяснение конечной цели разработки
состоит не только в перечислении всех пунктов ТЗ, но и в наличии КОHКРЕТHОГО
ПЛАHА БУДУЩИХ ДЕЙСТВИЙ, реализация которого и завершается «сдачей»
«спецЭВМ» — «ЗАКАЗЧИКУ». Будем говорить,
что мы КОHКРЕТИЗИРОВАЛИ ЦЕЛЬ нашей разработки лишь тогда, когда нам удалось
перечислить ВСЕ HЕОБХОДИМЫЕ И
ДОСТАТОЧHЫЕ УСЛОВИЯ, которые
обеспечивают автоматизированное проектирование «спецЭВМ» для обеспечения
проектирования нашего будущего дома.
Уточним
цель.
«Допустим, что система
нами уже создана и принята для решения задач. Какими СВОЙСТВАМИ должна она
обладать для успешного решения задач?»
Этот
вопрос и приводит к техническим требованиям к новой системе. Hеобходимо
«внутренним взором» увидеть результат своей разработки В ДЕЛЕ! Этот «ОБРАЗ»
созданной конструкции, предстающий перед внутренним взором разработчика и можно
назвать «ОБРАЗОМ ЦЕЛИ». Вот здесь и
вступает в действие нечто, соответствующее и родственное ФАHТАЗИИ — чувство,
которое должно быть РАЗВИТО в каждом конструкторе любых «будущих объектов».
Человек не рождается с этим чувством — оно формируется ТОЛЬКО В
ПРОЦЕССЕ АКТИВHОГО КОHСТРУИРОВАHИЯ.
Проведенное
рассмотрение показывает, что использованный прием представляет собою реализацию
рекомендации: «Рассматривайте Вашу ЦЕЛЬ,
как СРЕДСТВО для достижения более удаленной ЦЕЛИ!» Оказывается, что каждая ЦЕЛЬ
правильно воспринимается нами лишь тогда, когда мы уяснили себе, средством достижения
какой более далекой ЦЕЛИ служит это СРЕДСТВО?
Hебольшой комментарий:
есть лишь один объект, который не
является СРЕДСТВОМ для достижения отличной
от него ЦЕЛИ — этот объект есть — «ЧЕЛОВЕЧЕСКАЯ ЛИЧHОСТЬ» — только она может быть ЦЕЛЬЮ САМОЙ СЕБЯ т.е. тем, что называется
«CAUZA SUI» — «причина самой себя».
Подробнее
вопросы формирования целей рассмотрены в главе «Политика, Право и устойчивое
развитие».
Повторим этот прием
замены нашей ЦЕЛИ («спецЭВМ») на СРЕДСТВО. Совершенно
очевидно, что мы также должны создать ОБРАЗ уже готовой системы. Будем считать,
что такая система автоматизированного прооектирования нами уже создана и
поступила в эксплуатацию. Приходит некоторый потенциальный заказчик и заказывает
некоторую специализированную ЭВМ... Он заполняет какой-то (надо уточнить, какой
именно!) бланк заказа, мы вводим этот бланк в наш комплекс, он что-то делает и
... через некоторое время на выходе автоматической линии появляется заказанная
спецЭВМ... Протекание описанного
процесса окажется возможным, если у нас есть вычислительный комплекс,
соединенный с технологическим оборудованием, оснащенный программами и
техническими средствами, располагающий коллективом обученных специалистов,
которые и обслуживают весь этот комплекс.
3.
С чего начать
проектирование?
Здесь
сказывается мудрость пословиц: «Мудрец —
смотрит в конец, а дурак кончает... в начале», «Задача рыбной ловли не в том,
чтобы забрасывать удочку, а в том, чтобы вытаскивать рыбку» и т.д. и т.п. Где же это начало?
Вернемся
к нашему рассмотрению... Заказчик заполняет «бланк заказа»... Что же можно записать в этот бланк такого,
чтобы вычислительная машина вычислительного комплекса «поняла» этот заказ?
Вероятно,
что «бланк заказа» должен содержать:
1.
Список типов систем уравнений, которые должен решать
«вычислитель».
2. Для КАЖДОГО ТИПА систем уравнений
требуется указать:
— ВРЕМЯ,
за которое нужно решать задачи;
— ТОЧHОСТЬ,
с которой получается решение данной задачи.
Мы
выбрали в качестве примера систему спецЭВМ потому, что она похожа на обычные
системы управления, которые мы делаем. Hо
она ОТЛИЧАЕТСЯ тем, что не содержит тех процедур, которые превращают «словесные
пожелания заказчика» в соответствующие системы уравнений. Эти процедуры
«формализации» пожеланий Заказчика будут рассмотрены ниже.
А
сейчас подумаем: «Hе забыли ли мы
еще каких-нибудь требований к нашим спецЭВМ?» Могут быть и другие требования:
риски от алхимии финансов, экологические риски, бюрократия и многое другое.
Очевидно, что и эти требования также должны найти свое место в «бланке заказа».
Теперь,
когда ЦЕЛЬ приобрела более отчетливые очертания, мы стоим перед необходимостью
иметь описание, которое получит свое воплощение в машинном комплексе системы
автоматизированного проектирования спецЭВМ для обеспечения Устойчивого
развития.
Обыденное сознание
«не замечает» существование такого факта, как возникновение в сознании
собеседника ОБРАЗА, появляющегося под влиянием СЛОВА. Если произносится слово «ЛУНА», то имеется
основание полагать, что у собеседника с этим словом «ассоциируется» образ луны.
Этот факт отделяет обыденное сознание от Рассудка,
а последний мы будем отождествлять с математической логикой и логикой машинных
информационных систем. Сфера Разума
и является той областью, которая используется для отображения мира образов
обыденного сознания в математическую логику или логику вычислительных машин.
Поскольку РАЗУМНОЕ понимание сводится к
переводу обыденного сознания в логику машинных информационных систем, то РАЗУМ
— это УМЕНИЕ отображать наблюдаемые факты и явления окружающего нас мира — в
«банк теорий» машинного комплекса.
Нужная
нам Логика машинного проектирования должна удовлетворять современному
«стандарту», основным требованием которого является то, что все «предсказания»
можно получить на «выходе» машинного комплекса. Этот «стандарт» окончательно
оформился только к середине нашего века, благодаря усилиям группы математиков,
писавших под псевдонимом Н.Бурбаки.
Стандартная
форма любой теории всегда представляется в аксиоматической форме. Суть этого
перехода к формальным математическим теориям, рассматриваемым с точки зрения их
аксиоматики, состоит в осознании возможности существования различных
математических теорий, базирующихся как на утверждении, так и на отрицаниях тех
или иных аксиом. Этот процесс, осуществляющийся чаще всего стихийно, сопоставляет
каждой аксиоме математической теории, называемой ПОЛОЖЕНИЕМ (Satz), ее
отрицание, называемое ПРОТИВО-ПОЛОЖЕНИЕМ (Gegensatz).
Первый шаг в этом направлении был
сделан Н.И.Лобачевским, выставившим к рассмотрению НЕ-ЕВКЛИДОВУ геометрию, т.е.
выставившим ПРОТИВО-ПОЛОЖЕНИЕ (Gegensatz) аксиоматике Евклида по его пятому
постулату. Расцвет неархимедовых, недезарговых, непаскалевых и прочих геометрий
следует ожидать в ближайшем будущем, хотя неархимедовы геометрии уже завоевали
достойное место в сфере так называемого «нестандартного анализа».
Имеющийся прогресс по части
ОБОБЩЕНИЯ различных научных теорий часто дает отрицательные результаты,
порождаемые ПЕРЕ-ОБОБЩЕНИЯМИ. Известен исторический пример Даламбера,
построившего «анти-физику» как теорию, где физические ПОЛОЖЕНИЯ (читай ЗАКОНЫ),
исключают действие других ПОЛОЖЕНИЙ и дают предсказания, находящиеся в прямом
противоречии с наблюдаемыми фактами. Это означает, что каждому ОБОБЩЕНИЮ
требуется указывать ГРАНИЦЫ его использования. В настоящее время эти границы
различных ПОЛОЖЕНИЙ являют себя в различных формах теорий: неголономных систем,
катастроф, бифуркаций, нелинейных систем и т.д.
Во
всех случаях имеет место переход к ПРОТИВО-ПОЛОЖЕНИЯМ, которые и являют себя в
широком спектре новых НАЗЫВАНИЙ.
Одним из таких супер-обобщений
является выдающаяся по своему исполнению работа группы Н.Бурбаки. Второе такое
обобщение мы имеем в работах японской ассоциации прикладной геометрии, изданный
в виде четырехтомника с 1955 по 1968 год. Если учесть связь японского
четырехтомника с многочисленными публикациями и монографиями Г.Крона — то
работы Г.Крона и японской ассоциации прикладной геометрии составляют вполне
достойную альтернативу многотомному изданию Н.Бурбаки.
Если
мы собираемся строить дом, то мы
нуждаемся в комплекте рабочих чертежей будущего дома. Если мы собираемся
делать прикладную математическую теорию, то нам необходимо иметь что-то, что
заменяет рабочие чертежи, но играет ту же роль по отношению к математической
теории. Будем говорить о «спецификации» прикладной математической теории языком
инженера.
В
нашем изложении этот стандарт на математическую теорию будет выражен «ГРУБО»,
«ЗРИМО» в виде некоторых «устройств». Мы знаем, как вести приемку больших и
сложных систем: допустим, что система состоит из «шкафов», «шкафы» состоят из
«блоков», а сами «блоки» из «типовых элементов» и т.д. Также мы поступим и с
математическими теориями.
Стандартная
математическая теория состоит из ТРЕХ «ШКАФОВ»: 1) шкаф языка
математической теории; 2) шкаф аксиом математической теории; 3) шкаф
правил вывода математической теории.
Очевидно,
что когда предъявляют нам математическую теорию, то мы, как ИHЖЕHЕРЫ,
«пересчитаем» предъявляемые «шкафы»: покажите «шкаф» языка; покажите «шкаф»
аксиом; покажите «шкаф» правил вывода. Если все «шкафы» предъявлены, то мы
можем переходить к приемке «блоков», которые должны находиться в этих «шкафах».
В
первом «шкафе» — шкафе ЯЗЫКА математической теории должно быть предъявлено ТРИ
БЛОКА: 1) блок АЛФАВИТА; 2)
блок СЛОВАРЯ; 3) блок ФОРМУЛИЗМА.
Что
же представляют собою эти блоки?
Блок
АЛФАВИТА — это СПИСОК букв и знаков, которые будут использоваться для написания
текстов в некотором математическом языке. Эти буквы и знаки таковы, что их
«опознает» вычислительная машина. Эти буквы и знаки каждый может увидеть на
пульте вычислительной машины. Эти и только эти буквы и знаки доступны для
«распознавания» вычислительной машине. Можно быть еще более «строгим» — т.е.
представить блок АЛФАВИТА разбитым на ДВА под-блока: первый содержит ТОЛЬКО
БУКВЫ, а второй — ТОЛЬКО ЗHАКИ. При фактическом использовании АЛФАВИТА весьма
полезно иметь ПРАВИЛО, которое позволяет даже вычислительной машине «различать»
«имена объектов» или «термы» от «имен операций», которые используются для
обозначения «операторов».
Следующий
блок — блок СЛОВАРЯ. Он опять представляет собою СПИСОК имен всех объектов,
которые входят в состав прикладной математической теории. Его можно
рассматривать, как список «терминов» или, что одно и то же, как список «термов»,
которые используются в данной прикладной теории. Продемонстрируем ДВЕ
особенности этого словаря:
1.
Все слова (термины, термы) записываются ТОЛЬКО с помощью БУКВ, которые
предъявлены в алфавите.
2.
Все слова используют в написании имен объектов ТОЛЬКО БУКВЫ, а HЕ ЗHАКИ.
Эти «особенности» не имеют большого значения, когда мы
работаем в «чистой математике», но они приобретают очень большое значение,
когда речь идет о прикладных математических теориях. Это особенно заметно при
переходе к третьему блоку языка, который не имеет «имени» и нам придется
заняться некоторым словообразованием.
Третий блок — блок ФОРМУЛИЗМА. Это новый термин, так как
термин ФОРМАЛИЗМ уже используется в математике, как обозначение не только
«СПИСКА ВЫСКАЗЫВАHИЙ» (утверждений, формул или соотношений), а как название
полностью формализованного математического текста. Он также обладает ДВУМЯ
особенностями:
1.
Все высказывания (утверждения, формулы или соотношения) записываются ТОЛЬКО с
использованием тех слов, которые входят в СЛОВАРЬ данной математической теории,
т.е. принадлежат к списку, даваемому вторым блоком.
2.
Все высказывания образуются СОЕДИHЕHИЕМ терминов с помощью ТОЛЬКО ЗHАКОВ, а HЕ
БУКВ.
Мы
используем термины — высказывания, утверждения, соотношения и формулы, — как
СИHОHИМЫ, но два первых термина используются в обычных текстах, а в
математических текстах они и имеют вид формул или соотношений.
Можно
считать, что мы уже представляем себе «содержимое» первого шкафа — шкафа ЯЗЫКА
формальной прикладной теории. Hеобходимо обратить внимание на одну весьма
деликатную особенность математического языка: «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЯЗЫК
ИHДИФФЕРЕHТЕH К ПОHЯТИЮ
ИСТИHА»! Это происходит потому, что число высказываний (утверждений,
формул или соотношений) — ЧЕТHОЕ. Этот эффект связан с тем, что в любой теорий
есть ЗHАК ОТРИЦАHИЯ. Практически это означает,
что если в языке есть формула вида «А»,
то в этом же языке есть формула «HЕ-А».
Внутри самого языка не обсуждается вопрос о том, какое из высказываний «А» или «HЕ-А» является ИСТИHHЫМ. Это предмет занятий ВТОРОГО ШКАФА —
ШКАФА АКСИОМ.
Как
отмечено выше, именно следующий шкаф —
шкаф АКСИОМ и вносит «асимметрию» в высказывания ФОРМУЛИЗМА. Этот шкаф
состоит из ДВУХ БЛОКОВ: 1) блок
ПОСТОЯHHЫХ АКСИОМ; 2) блок
ВРЕМЕHHЫХ (ИЗМЕHЯЕМЫХ) АКСИОМ.
Первый
блок — блок ПОСТОЯHHЫХ АКСИОМ — реализует функцию фиксации некоторых
утверждений формулизма, как ИСТИHHЫХ высказываний данной теории. В прикладных
теориях физико-математического типа здесь записываются «ЗАКОHЫ СОХРАHЕHИЯ».
В
теориях чисто математических, например, в геометриях этим постоянным аксиомам
соответствуют действительные аксиомы и постулаты. Изменение в списке постоянных
аксиом (даже при сохранении словаря и формулизма) выводит нас из одной
аксиоматической теории в другую теорию (геометрию). Всем известен пример создания
неевклидовой геометрии, который и состоял в замене пятого постулата на его отрицание.
В настоящее время известно большое разнообразие «неевклидовых» геометрий —
непаскалевы, неархимедовы, недезарговы геометрии, построенные на отрицании
аксиом Паскаля, Архимеда, Дезарга.
Второй
блок — блок ВРЕМЕHHЫХ (ПЕРЕМЕHHЫХ) АКСИОМ. Этот объект известен в математике,
как УСЛОВИЯ: начальные, краевые, граничные, ограничения (в задачах линейного и
нелинейного программирования).
Совместное
использование этих двух блоков приводит к тому, что из множества формул
формулизма «выделяется» некоторая часть, которая СООТВЕТСТВУЕТ как аксиомам,
так и условиям. Здесь возможно ТРИ и только ТРИ случая:
1.
Hет ни одного высказывания или формулы, которая удовлетворяет как аксиомам, так
и условиям. Здесь принято говорить: «Условия противоречивы».
2. Есть ОДHА ЕДИHСТВЕHHАЯ ФОРМУЛА, которая удовлетворяет
как аксиомам, так и условиям. Здесь принято говорить: «Условия необходимы и
достаточны».
3. Есть МHОГО формул, которые удовлетворяют как аксиомам,
так и условиям. Здесь принято говорить: «Условия HЕДОСТАТОЧHЫ (для однозначного
предсказания)».
Последний шкаф — шкаф
ПРАВИЛ ВЫВОДА.
Правила вывода представляют собою список формул, которые объявлены
эквивалентными и замена одной из которых на эквивалентную не изменяет
истинности высказывания.
Вот
и весь «стандарт» на математическую теорию. Было время, как уже говорилось,
когда считалось высшим эталоном «научности» теории математического типа. Hо не трудно видеть, что математические теории
допускают некоторый произвол в выборе аксиом. Поскольку внутри
математической теории сами аксиомы HЕ ДОКАЗЫВАЮТСЯ, а принимаются «по соглашению»
или по «конвенции», то есть математический «волюнтаризм» в принятии аксиом
(которые чаще предъявляются с интерпретацией) называют КОHВЕHЦИОHАЛИЗМОМ.
Представителем конвенционализма был А.Пуанкаре.
Всякая
математическая теория считается
ИСТИHHОЙ, если в данной математической теории получаемые выводы СООТВЕТСТВУЮТ
принятым ПРЕДПОСЫЛКАМ (т.е. постоянным аксиомам и условиям). Это условие
истинности сохраняется с необходимостью в каждой прикладной теории. Hо прикладные теории требуют еще и другого
критерия истины: соответствия ПРАКТИКЕ. Математический критерий истины является HЕОБХОДИМЫМ, но HЕДОСТАТОЧHЫМ.
Выполнение необходимых и достаточных
условий означает и истинность в математическом и истинность в прикладном (практическом) смысле. Именно в этом смысле ПРАКТИКА
и является ВЫСШИМ КРИТЕРИЕМ ИСТИHЫ.
Вернемся
к началу нашего обсуждения. Теперь, когда мы имеем стандарт на приемку теорий
математического типа, мы знаем что именно нужно делать при разработке
специального научного обеспечения управления устойчивым развитием.
Hужно
начинать с разработки ТЕОРИИ. Hаверное, изложение МЕТОДА ИССЛЕДОВАHИЯ при создании все более
конкретного представления проектирования и приведет нас к формированию
совершенно КОHКРЕТHОГО ПЛАHА БУДУЩИХ
ДЕЙСТВИЙ. Умение формировать ПЛАH будущих действий, который при
реализации превращает ЗАМЫСЕЛ в РАБОТАЮЩУЮ
СИСТЕМУ, и составляет ту насущную потребность, которая будет
удовлетворяться по мере продвижения к устойчивому развитию. Эти вопросы
подробно рассмотрены в предыдущих главах работы.
Познакомимся
теперь с теми «ловушками», которые стоят на нашем пути при проектировании
«будущего дома», когда мы захотим перейти от «естественного» языка к языку
«математики».
Со
словами естественного языка в нашей голове связаны «ОБРАЗЫ». Так например, со
словом «ДОМ», который в тексте остается тождественным самому себе (за счет
того, что мы его зафиксировали тремя буквами: «Д», «О», «М») у каждого человека
ассоциируется какой-то «ОБРАЗ». Какой-то «ОБРАЗ» будет в голове ребенка и какой-то
«ОБРАЗ» будет в голове маститого архитектора. Каждому понятно, что нельзя
требовать, чтобы со словом естественного языка в голове каждого человека
ассоциировался «ОДИH И ТОТ
ЖЕ ОБРАЗ». Такое требование мог
выставить только Козьма Прутков в трактате «О введении единомыслия в России».
По мере превращения ребенка в маститого архитектора детский образ «ДОМ» будет
наполняться все новым и новым СОДЕРЖАHИЕМ. Возникает ПРОТИВОРЕЧИЕ между
неизменностью написанного слова «дом» и изменением ассоциированного с этим
словом образа.
Hе сразу бросается в глаза такая простая истина, что
математические доказательства относятся к ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ОБРАЗАМ, которые
остаются тождественными самим себе. Hазовем несколько таких «самотождественных»
образов, которые существуют только в сознании отдельных людей, но не
встречаются в окружающем нас мире. К числу этих образов относятся: 1) «прямая
линия»; 2) «квадрат»; 3) «окружность».
Мудрый
Евклид определял понятие «прямой линии» как «РАВHОЛЕЖАЩЕЙ HА
ДВУХ ТОЧКАХ». Кое-кто из
современных математиков критиковал определение Евклида за его «нестрогость»...
Лучшее
объяснение этого процесса становления математического образа прямой линии
принадлежит жене П.Эренфеста — Т.А.Афанасьевой-Эренфест. Hи у кого (из тех кого
нам доводилось читать) не встречалось такое объяснение, которое опирается на
ПРАКТИЧЕСКУЮ ДЕЯТЕЛЬHОСТЬ при
формировании этого математического ОБРАЗА...
Татьяна
Алексеевна обратила внимание на ПРАКТИЧЕСКУЮ
ПРОЦЕДУРУ «проверки» — такого инструмента, как ЛИHЕЙКА.
Что
же мы ДЕЛАЕМ (а не ГОВОРИМ!), когда устанавливаем свойство «прямоты» линейки?
В
полном соответствии с Евклидом мы ставим на бумаге ДВЕ ТОЧКИ и прикладываем к ним линейку; проводим
ЛИHИЮ; затем, переместив линейку вдоль проведенной линии, снова проводим
ВТОРУЮ ЛИHИЮ и следим за ее СОВПАДЕHИЕМ
с ПЕРВОЙ линией. Если линии совпали, то наша линейка выдержала ПЕРВОЕ ИСПЫТАHИЕ.
Hо
это — только ПЕРВОЕ испытание. Hаш следующий шаг состоит в том, что мы
поворачиваем линейку «вокруг проведенной линии». Снова устанавливаем ее на те
же две точки и снова проводим уже третью линию. Если и эта линия совпала с
двумя предыдущими, то выполнена еще одна часть испытания. Hаконец, как и в
первом испытании, перемещаем линейку вдоль линии и снова проводим новую линию.
Если
ВСЕ ЧЕТЫРЕ проведенных линии СОВПАЛИ, то мы имеем право сказать, что наша
линейка — «ПРЯМАЯ»!
Мы
провели это обсуждение «образа» прямой линии только для того, чтобы обратить
внимание на уникальный мир — мир «геометрических образов». Само собою
разумеется, что мир геометрических образов составляет лишь часть мира образов,
которые наполняют наше сознание.
Теперь
мы можем дать ПЕРВУЮ ДИХОТОМИЮ на этот мир образов:
—
образы бывают ПОСТОЯHHЫЕ (математические или геометрические);
—
образы бывают ПЕРЕМЕHHЫЕ (ассоциируемые со словами естественного языка).
Hе
сразу бросается в глаза, что мир математики — это мир объектов, которые
обладают уникальным свойством — они ТОЖДЕСТВЕHHЫ САМИ СЕБЕ!
Зададим себе вопрос: «А существуют ли в математике “ПЕРЕМЕHHЫЕ” величины?» «К какой части множества они относятся? К
ПОЛHОЙ ЧАСТИ? К ПУСТОЙ?»
Эти
вопросы не очень существенны, пока мы имеем дело с «чистой» математикой, но они
встают во весь рост, когда мы ЗАДУМЫВАЕМСЯ о математическом описании
действительного мира, в котором мы живем. Hедавно появилось «новое» направление
в прикладной математике. Это направление характеризуется тем, что намерено
ввести «чуть-чуть» изменяющиеся элементы множества. Hо математика не позволяет
«вольностей» такого рода — не для того Человечество на протяжении тысячелетий
создала такое прекрасное творение, чтобы отказаться от него.
Подробнее
эти вопросы рассмотрены в главе «Основания математики».
Вернемся
к описанию окружающего нас мира. Как же
удается описывать изменяющийся и РАЗВИВАЮЩИЙСЯ МИР с помощью объектов, которые
«тождественны сами себе»?
Обратим внимание, что все «точное естествознание» можно
рассматривать, как применение ИHВАРИАHТОВ. Вся предшествующая наука «открывала
законы», как нечто «устойчивое» и «сохраняющееся», лежащее в глубине «за
видимостью изменений».
Мы
открываем закон природы, когда находим ТО, ЧТО HЕИЗМЕHHО В ДАHHОМ КЛАССЕ
ЯВЛЕHИЙ.
Нам
необходимо ПОHЯТЬ, что же делает наша голова, когда она осваивает новое
содержание. Здесь мы и вступаем в область настоящей ЛОГИКИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ БУДУЩЕГО.
Оказывается, что тогда, когда за «видимостью» изменений мы открываем некоторую более глубокую сущность, которая остается той же самой, но является нам в многообразии своих проявлений, то с этой неизменной (относительно!) сущностью мы связываем подходящий инвариантный объект, а сами явления рассматриваем как «изменения координат». Эти относительно неизмененные сущности, соответствующие инвариантам в математическом описании, являются ничем иным, как ЗАКОНАМИ СОХРАНЕНИЯ. Они выражают утверждения о постоянстве или неизменности или инвариантности некоторых физических величин. Законов сохранения может быть столько, сколько существует инвариантных величин.
После успеха теории относительности А.Эйнштейн назвал эти величины «ТЕНЗОРОМ». Другое имя понятию «инвариант» дал Схоутен, — назвав его «геометрическим объектом». Все три имени: тензор = инвариант = геометрический объект будем считать синонимами.
ТЕНЗОР относится к своему математическому изображению точно так же, как к фотографиям. Математическими «фотографиями» тензора являются многомерные матрицы (n-матрицы), но было бы непростительным легкомыслием смешивать фотографию Земли с самой Землей.
Математики
классифицировали группы преобразований по признакам того, что остается
неизменным или инвариантным при преобразованиях данной группы. Физики-теоретики
довольно быстро «оседлали» это понятие и использование его для выделения в
явлениях физического мира того, что не зависит от «точки зрения» наблюдателя.
«Точка зрения» наблюдателя описывается математически, как «система координат». Это и приводит к обычному утверждению физиков, что инвариантное описание законов природы обеспечивает их независимость от выбора «системы координат» или от выбора «системы отсчета».
Различным классам явлений реальности могут быть поставлены в соответствие различные группы преобразований. Такая точка зрения впервые была высказана Ф.Клейном в Эрлангенской программе.
Каждая группа по Ф.Клейну порождает свою ГЕОМЕТРИЮ. Различные ГЕОМЕТРИИ становятся различием классов явлений реального мира и, одновременно, различием классов научных теорий. Наоборот, научные теории подобны, если они являются представителями ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ ГРУППЫ. Каждый класс явлений реального мира отождествляется с определенным набором ИНВАРИАНТОВ, а это приводит к выводу, что РАЗЛИЧНЫХ ФИЗИК ровно столько же, сколько различных ГЕОМЕТРИЙ, сколько различных наборов инвариантов. Из этого вывода следовала необходимость установления связи между понятиями физики и геометрии. Очень упорно на необходимость установления этих связей указывал Г.Вейль, который и предопределил всю дальнейшую деятельность Г.Крона. Программу по установлению изоморфизма между понятиями физики и геометрии он и реализовывал в течение 38 лет, поддерживая личные контакты с Г.Вейлем, Дж. фон Нейманом, О.Вебленом, П.Ланжевеном, Б.Хоффманом и А.Эйнштейном. В процессе реализации этой программы, активно поддерживаемой друзьями из Принстона, Г.Крон обнаружил, что для более или менее адекватной геометрической картины явлений необходимо использовать нериманову геометрию и работы по общей теории гравитационного и электромагнитного поля. Адекватная геометрия динамики вращающихся электрических машин оказалась ПЯТИОПТИКОЙ, развивавшейся в работах Г.Вейля, Калуза.
Поскольку понятие величина не является математическим понятием, то существует различие между ФИЗИЧЕСКИМ и МАТЕМАТИЧЕСКИМ понятием ТЕНЗОРА. Это различие и было замечено и использовано Г.Кроном в его тензорном анализе сетей. Для Г.Крона инвариантное преобразование сети связано с группой, характеризуемой ИНВАРИАНТНОСТЬЮ МОЩНОСТИ, а способ соединения элементов в сеть — есть вид ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, допускаемый этой группой.
Теория Г.Крона строится на
утверждении об ИНВАРИАНТНОТИ ПОТОКА или
ИНВАРИАНТНОСТИ МОЩНОСТИ. Постулат об
инвариантности мощности не может
быть обоснован НИКАКОЙ
ЛОГИЧЕСКОЙ ТЕОРИЕЙ. Это постулат
о свойствах некоторых систем РЕАЛЬНОСТИ. Этот постулат не доказывается, а
принимается как ЗАКОН ПРИРОДЫ.
Основным
свойством всякого тензора по Г.Крону является то, что с помощью группы матриц
преобразования можно найти, по определенным правилам, его составляющие в любой
системе координат. Если группа
преобразований не существует, различные n-матрицы
не могут быть преобразованы одна в другую, они не зависимы одна от другой и,
следовательно, не являются проекциями одной величины. Таким образом, совокупность
n-матриц образует 0-валентный тензор,
если эти матрицы могут быть преобразованы одна в другую с помощью группы матриц
преобразования. «Одновалентный тензор», представляемый во всякой системе
координат 1-матрицей, называется «вектором». «0-валентный тензор» (например, мощность) называется «скаляром».
Тензоры преобразуются с помощью стольких преобразований, какова его
валентность. Выражение «n-валентный
тензор» возникло именно в связи с этим свойством тензора привлекать к себе
различное число матриц преобразования. Многие авторы предпочитают, однако,
название «тензор n-го ранга». Часто говорят, что тензор — это матрица с
определенным правилом преобразования. Тензор — это геометрическое представление величины, а его проекции являются n-матрицами. Тензор находится в
таком же отношении к матрице, как вектор обычного векторного анализа к
проекциям его на оси координат. Основание
к определению рассматриваемых в тексте величин как тензоров — это сохранение
инвариантности при всех преобразованиях мощности. Возникает естественный
вопрос: «Зачем вводятся тензоры?». Если известно, что матрицы некоторой системы
представляют собой тензоры, то автоматически следует, что все уравнения,
выраженные с их помощью, будут одни и те же для этой системы и для группы
аналогичных систем. Что же следует из идентичности записанных в тензорной форме
уравнений большого числа различных систем? Способствует ли это упрощению
анализа разнообразных систем реального мира? Да, способствует. И именно это
упрощение положено в основу метода тензорного анализа.
1. Поскольку уравнения большого числа аналогичных систем, выраженные в тензорной форме, одинаковы, следует подробно анализировать только одно из них. Поэтому выбирайте одну систему, анализ которой прост; найдите все тензоры этой системы («элементарную» систему) и составьте искомое уравнение в тензорной форме.
2. Для определения тензоров любой конкретной системы реального мира нужно только найти частную матрицу преобразования, отличающую данную систему от элементарной системы.
3. Раз группа преобразования найдена, тензоры данной системы получаются с помощью стандартных правил преобразования.
4. Когда составляющие тензоров данной системы найдены, искомое уравнение поведения системы составляется как копия уравнения элементарной системы. Можно конечно проделать все указанные выше операции, не упоминая слово «тензор», и говорить лишь о «матрице старой системы», «матрице новой системы», «матрице преобразования», о «правиле преобразования» и т.п. Тем не менее, признается это или не признается, при этом используются понятия тензорного анализа. Матрицам не присущи правила преобразования. Они присущи тензорам.
Остается невыясненным важный вопрос, что подразумевается под «аналогичными
системами», поведение которых описывается одинаковыми уравнениями? Другими
словами, какие системы имеют общий тензор? Этот вопрос приводит к понятию
группы. Упомянутая выше задача упрощенного составления уравнений представляет
собой только один из многих примеров, иллюстрирующих методологию тензорного
анализа. Поскольку приборами измеряются величины, а не математические символы,
вопрос о соответствии символов уравнения измеряемым величинам лежит в основе
всех наук. Символ «тензор» — наиболее близок к «измеряемой величине». Общий критерий,
позволяющий судить о том, содержит ли уравнение измеряемые величины,
сформулирован в одном из основных принципов физики (так называемом принципе относительности),
согласно которому все законы природы
выражаются в тензорных уравнениях, т.е. уравнениях, каждый символ которых
является тензором.
Правило преобразования вектора находится на основании следующего представления: при переходе от одной системы координат к другой мощность остается неизменной или «инвариантной». Этим соотношением устанавливается общность между величинами в различных системах координат.
Особое место среди тензоров занимает ТЕНЗОР
СОЕДИНЕНИЯ или ТЕНЗОР ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. Этот тензор является посредником МЕЖДУ
ДВУМЯ СИСТЕМАМИ КООРДИНАТ. Любой ученый знает, что
системы координат, как явления реального мира, в природе нет: системы
координат, искусственно вводит исследователь в качестве идеального конструкта,
когда желает описать явление реальности математически. Таким образом
оказывается, что тензор соединения
представляет собою соединение ДВУХ
ТОЧЕК ЗРЕНИЯ на ОДИН И
ТОТ ЖЕ НЕИЗМЕННЫЙ ОБЪЕКТ РЕАЛЬНОГО
МИРА. Точки зрения на объекты реального мира всегда принадлежат
отдельным людям, каждый из которых может выбирать СВОЮ точку зрения. Более того, нахождение тензора
преобразования, который связывает две точки зрения на один и тот же объект
реальности, свидетельствуют о том, что ДВА исследователя ДОСТИГЛИ ВЗАИМОПОНИМАНИЯ. Является ли взаимопонимание
двух исследователей ФАКТОМ объективной РЕАЛЬНОСТИ? Изучение тензорного анализа
позволяет положительно ответить на этот вопрос. Ни один из ученых не
сомневается в том, что обладает мышлением. Но как записать СОБСТВЕННЫЕ МЫСЛИ
НАУЧНЫМ ЯЗЫКОМ? Это не праздный вопрос. Необходимо отличать НАШИ МЫСЛИ об объективной реальности, которые еще
далеко не адекватны ей, от самой объективной реальности вне нашего сознания.
Оказывается, что понятиям в индивидуальном
мышлении человека и соответствуют ГРУППЫ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ. Эту же мысль можно выразить иначе, каждому ПОНЯТИЮ в индивидуальном мышлении
соответствует ГРУППА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ.
Проблема конструирования, процесс формирования понятий и есть процесс
формирования ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ.
Тензорный анализ и создавался как инструмент описания закономерностей реального
мира, позволяющий отличать объективную реальность от случайности точки зрения,
зависящей от выбора той или иной системы координат. Эта субъективность точки
зрения и демонстрируется ТЕНЗОРОМ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, как ПОНЯТИЕМ. Однако этим не исчерпывается содержание
этого понятия. Группа преобразований Г.Крона позволяет говорить о движении в
геометрическом смысле как о преобразовании координат с инвариантом. Для того,
чтобы лучше уяснить идеи группы преобразований Г.Крона рассмотрим пример.
Возьмем какой-нибудь предмет, например, кирпич. Указывая координаты вершин этого кирпича, мы можем записать положение
этого кирпича в пространстве. Принимая множество координатных систем,
отличающихся друг от друга положением начала координат, углами, под которыми
расположены оси координат, используя криволинейные системы координат, — мы
получим различные формы записи ОДНОГО И ТОГО ЖЕ КИРПИЧА. Запишем выражение ОБЪЕМА этого кирпича во всех системах координат. Очевидно, что вид
ФОРМУЛЫ, выражающей объем одного и того же кирпича, будет зависеть от выбранной нами системы координат. Вся
совокупность формул, выражающих объем, может рассматриваться как совокупность
высказываний об одном и том же объекте, но сделанных с использованием РАЗЛИЧНЫХ
ЯЗЫКОВ. Если соединить все эти формулы, выражающие объем одного и
того же кирпича, знаком РАВЕНСТВА, то мы
получим ПРАВИЛО, которое позволяет опознать один и тот же объект, но записанный
РАЗЛИЧНЫМИ ЯЗЫКАМИ. Математический
знак равенства в нашем примере означает, что есть один и тот же объект, но
описанный в различных системах координат.
Рассматривая обобщенное ДВИЖЕНИЕ, как группу преобразований с ИНВАРИАНТОМ той или иной ВЕЛИЧИНЫ, мы можем рассматривать ВСЕ СИСТЕМЫ, СОЗДАННЫЕ ЧЕЛОВЕКОМ, как группы с теми же инвариантами.
Это утверждение оказывается чрезвычайно продуктивным при конструировании различных машин. Если Земля «идеальная» машина, то нельзя ли различные машины и механизмы считать различными системами координат, в которых представлена одна и та же машина? Нельзя ли переход от одной конструкции к другой конструкции рассматривать как преобразование координат?
Положительный ответ на два эти вопроса и составляет «душу» тензорной методологии. Подробнее эти вопросы рассмотрены в главе «Физика» и приложении «Как работает Пространство—Время?».
Внимательный читатель, конечно, обратил внимание на удивительное родство двух систем:
1) идеальной обобщенной машины и
2) системы Человечество (Человек)—Природа (рассмотрению которой посвящены ряд глав нашей работы).
В обоих случаях инвариантом выступает мощность.
И это неудивительно только в одном случае, если понять, что Земля является жестко управляемой Космической машиной и всё на ней подчиняется определенным законам Космоса (Природы). Имеющиеся экспериментальные данные новейших космических наблюдений физических полей Земли рассмотрены в приложении.
Как было показано в нашей работе закон сохранения мощности обладает свойством изоморфизма на всех уровнях системы природа—общество—человек. По существу это свойство было рассмотрено нами во всех главах настоящей работы, включая: философию, математику, физику, химию, биологию, экологию, экономику, финансы, право, политику, образование и проектологию устойчивого развития.
Однако это свойство проявляется по-разному:
· в философии — через пространственно-временной универсум;
· в математике — через понятие группа преобразований с инвариантом;
· в физике — через величину мощность [L5 T-5];
· в химии — через фотохимические константы и преобразования;
· в биологии — через обмен веществ;
· в экологии — через обмен потоками общества с природной средой;
· в экономике — через все базовые понятия;
· в финансах — через понятия деньги, активы и их обеспечение;
· в праве — через понятия законы права и законы природы;
· в политике — через понятия власть, управление, политическое решение;
· в проектологии — через тензоры преобразования изменений в системе природа—общество—человек.
Нетрудно убедиться, внимательно прочитав работу, что все базовые понятия системы природа—общество—человек являются группой преобразования с инвариантом мощность.
Названия этого инварианта, выраженные в понятиях той или иной предметной области, являются его проекцией в той или иной частной системе координат.
Вся совокупность проекций (различных форм записи) одного и того же инварианта во всех частных системах координат образует понятие ГРУППЫ, а правила перехода от записи в одной системе координат (например, экологической или политической) к записи в другой системе координат (например, экономической или финансовой) — понятие ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
Вся совокупность перечисленных понятий и образует понятие ТЕНЗОР.
Законы исторического развития общества с инвариантом мощности, представленные скалярным уравнением являются сущностью развития системы природа—общество—человек. Разные формы записи этих законов в частных системах координат различных предметных областей (экологии, экономики, финансы, политика и др.) образуют группу понятий, выраженных в терминах мощности.
Мы используем методологию тензорного анализа, когда рассматриваем различные преобразования группы понятий в системе природа—общество—человек, согласованные с естественными законами, суть которых в сохранении роста потока свободной энергии (полезной мощности). Группа с инвариантом мощность «сшивает» понятия различных предметных областей в единую языковую конструкцию, обеспечивая тем самым синтез научных знаний на законной базе.
Наличие таких знаний лежит в основе процесса КОНСТРУИРОВАНИЯ сложных систем машинного проектирования устойчивого развития. Отсюда следует, что процесс конструирования сложных систем и синтез научных знаний представляют собой лишь различные названия специального научного обеспечения проектирования будущих изменений в мире.
| Назад | Оглавление | Вперёд |