Глава 2

ОСНОВАНИЯ  МАТЕМАТИКИ

КАК  ЯЗЫК  НАУКИ

 

Мальчики играют на горе,

Сотни тысяч лет играют.

Царства исчезают на Земле,

Игры — никогда не умирают.

 

Искусственные миры и математика. Почему человечество создало математику? Почему математика устроена аксиоматически? О единстве и целостности математики. Математика и геометрия. Устройство математических теорий. Отличие математического языка от естественного. Интерпретация математических теорий. Почему ЗНАНИЕ математики не гарантирует УМЕHИЯ ей пользоваться в конкретном проектировании систем? Классификатор возможных задач. Введение системы координат. Правило записи алгоритма. Точечное преобразование и преобразование координат. Инварианты, системы координат и «точки зрения». Ум — измерение — наука. Геометрия и хронометрия. Единицы измерения пространства и времени. Какова «ключевая идея», которая приблизила нас к современному уровню понимания математики? Множественность геометрий и множественность классов явлений природы. Исходные правильные формулы как противоречие. Интегрирующий принцип — тензорные преобразования с инвариантом.

 

 

1. Искусственные миры и математика

Бренность человеческой жизни и мечта о бессмертии — рождают странные миры: мир мифов, мир сказок, мир художественной литературы, мир музыки и т.п., которые можно назвать МИРАМИ ИСКУССТВА или ИСКУССТВЕННЫМИ МИРАМИ. К числу таких искусственных миров и принадлежит мир математики. Каждый из искусственных миров НЕОБХОДИМ ЧЕЛОВЕЧЕСТВУ, но остается неясным: «Почему человечество должно было ПРИДУМАТЬ эти миры и какую роль в истории человечества играют эти миры?»

Мы полагаем, что ответ на вопрос о возникновении подобного искусственного мира, известного как МИР МАТЕМАТИКИ, не может быть получен без ответа на более ОБЩИЙ ВОПРОС об искусственных мирах В ЦЕЛОМ.

Если миры искусства весьма уважают чувство юмора, то только отсутствие этого чувства в большинстве «математических» работ лишает их того очарования, которое традиционно связано с каждым миром искусства.

Яростная дискуссия об основаниях математики, противостояние математических школ, лишает эту область ТВОРЧЕСТВА заслуженного внимания к этим проблемам. Само собою разумеется, что только отсутствие чувства юмора не позволяет с шуткой на устах обсуждать проблему НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ математических теорий. Здесь как в тюрьме — «вологодский конвой шутить не любит: шаг вправо, шаг влево считается за побег — конвой применяет оружие без предупреждения!» И совсем не случайно участие математиков в различных «правозащитных движениях».

То, что мы пытаемся обсудить в этом разделе, уже давно известно как литературный прием, названный Шкловским «ОСТРАНЕНИЕ», что можно понимать как «остраненный взгляд» или «взгляд со стороны».

Два тысячелетия мы храним художественное наследие древних греков и столько же времени мы храним их наследие из мира математики. Уже архитектурные формы, созданные из камня, не выдерживают испытания текущим временем, а греческие тексты — как из мира искусства, так и из мира математики — оказались поистине НЕТЛЕННЫМИ. Но именно там, два тысячелетия тому назад, мы встречаемся в объектом, на который не действует ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ВРЕМЯ — это мир ИДЕЙ в том смысле, как их понимал Платон. И математика чтит эту традицию, сохраняя за одним из своих созданий имя «платоновых тел». Нет Платона, но живут и будут жить вечно — «платоновы тела»!

Из обилия возможных проблем мы выбираем только три:

            Почему человечество (с необходимостью, присущей случаю) должно было придумать математику?

            Почему математика должна быть устроена аксиоматически?

            Почему ЗНАНИЕ математики не гарантирует УМЕHИЯ ей пользоваться в конкретном проектировании систем?

 

2. Почему человечество создало математику?

Хотя придуманных миров довольно много, мы стоим перед необходимостью выделить из этого РОДА тот ВИД, который и именуется математикой. Это мир «идеальных объектов», которые обладают уникальным свойством — они «остаются тождественными САМИ  СЕБЕ». В этом смысле на объекты математики НЕ  ДЕЙСТВУЕТ  ВРЕМЯ, они обладают как бы «вневременным бытием».

Такие объекты, как прямая линия, квадрат, окружность и т.д. не могут быть «физически изготовлены», все они «чистые произведения мысли», но отличаются от всех других произведений мысли именно своей тождественностью самим себе. Нелепая попытка некоторых физиков отождествлять «прямую линию» с траекторией солнечного луча опровергается каждым школьником, который знает эффект рефракции и знает, что солнечный луч при закате «загибается». Это отклонение солнечного луча от математической «прямой линии» означает, что «прямая» в сознании школьника математичнее, чем у некоторых физиков.

А.Пуанкаре полагал, что первой математической абстракцией является абстракция «абсолютно твердого тела», а «прямая линия» может быть определена не проще, чем через «ось вращения абсолютно твердого тела».

Этот мир неизменных объектов, тождественных самим себе, в форме циклов и эпициклов послужил Птолемею для ПРЕДСКАЗАНИЯ Солнечных и Лунных затмений, а также для ПРЕДСКАЗАНИЯ моментов весеннего и осеннего равноденствий, знание которых давало возможность ПРЕДСКАЗАВАТЬ разлив Нила. Связь «математического мира» и наблюдаемых явлений природы породила профессию ЖРЕЦОВ, которые и являются подлинными прародителями современной математики.

Когда на историческом горизонте возникает фигура Кеплера, то не только изменяется «картина мира», но траектории планет ОТОЖДЕСТВЛЯЮТСЯ с эллипсом планетной орбиты. Этот НЕИЗМЕННЫЙ  ЭЛЛИПС — и есть ПЕРВЫЙ закон ПРИРОДЫ, зафиксированный на первых шагах науки нового времени. Здесь мы видим, что если НЕЧТО, наблюдаемое в природе, мы можем ОТОЖДЕСТВИТЬ с некоторым объектом математики, то этот математический объект явится ПРАВИЛОМ, на которое не действует ВРЕМЯ. Но такое свойство и есть то, что мы с этого времени будем называть ЗАКОНОМ  ПРИРОДЫ.

Есть большая правда в том, что природа говорит с нами на «языке математики», но не надо забывать, что ЗАКОНЫ  НЕБЕСНОЙ  МЕХАНИКИ не есть математические символы, изображенные на небесном своде. Создание мира неизменных объектов впервые позволило человечеству освоить понятие «ЗАКОНА  ПРИРОДЫ», как чего-то такого, что СУЩЕСТВУЕТ как не подверженное ходу действительного ВРЕМЕНИ.

Так человечество встретилось с «писанием ЗАКОНОВ». Но нетрудно заметить разницу между законами Кеплера и законами юристов, которые считаются большими мастерами по «писанию законов». Один из наших оппонентов, более четверти века тому назад, утверждал, что законы издает Верховный Совет СССР. А когда его спросили: «Не может ли Верховный Совет СССР отменить, например, законы Ньютона?» — оппонент пришел в замешательство. Мы не можем отказать себе в удовольствии процитировать Гегеля, ярко обрисовавшего подобных борзописцев:

«Можно при этом отметить особую форму нечистой совести, проявляющуюся в том виде красноречия, которым кичится эта поверхностность; причем прежде всего она сказывается в том, что там, где в ней более всего ОТСУТСТВУЕТ  ДУХ, она более всего говорит о ДУХЕ; там, где она наиболее МЕРТВЕННА и СУХА, она чаще всего употребляет слова ЖИЗНЬ и «ВВЕСТИ  В  ЖИЗНЬ, где она проявляет величайшее, свойственное пустому высокомерию СЕБЯЛЮБИЕ, она чаще всего говорит о НАРОДЕ.

Но особо ее отличает НЕНАВИСТЬ К ЗАКОНУ. В том, что право и нравственность и подлинный мир права и нравственного постигают себя посредством МЫСЛИ, посредством мысли сообщают себе форму РАЗУМНОСТИ, а именно ВСЕОБЩНОСТЬ и ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ, в этом, в ЗАКОНЕ, это чувство, оставляющее за собой право на произвол, эта совесть, перемещающее правое в область субъективного убеждения, с полным основанием видит наиболее враждебное для себя. ФОРМА  ПРАВОГО как ОБЯЗАННОСТИ и ЗАКОНА воспринимается этим чувством как МЕРТВАЯ,  ХОЛОДНАЯ  БУКВА, как ОКОВЫ, ибо оно не познает в нем самого себя, не познает себя в нем свободным, поскольку закон есть разум предмета, и этот разум не дозволяет чувству согреваться своей собственной частной обособленностью. Поэтому ЗАКОН, как мы отметили где-то в данной работе, — тот признак, по которому можно отличить ложных братьев и друзей так называемого народа». (Гегель. Философия права. М.: Мысль, 1990. С. 50.)

В истории математики тоже существовало такое время, когда со словом ЗАКОН ассоциировался не инвариантный объект, тождественный сам себе, а лишь ПРАВИЛО, по которому одному математическому объекту ставился во «взаимно однозначное соответствие» — другой математический объект. В настоящее время вся совокупность таких правил рассматривается (говоря языком геометрии), как ПРАВИЛА преобразования координат, а то, что остается при преобразованиях координат БЕЗ ИЗМЕНЕНИЯ и есть ИНВАРИАНТ.

Координатные представления теперь отождествляют с той или иной субъективной точкой зрения (в физике — это различие «наблюдателей»), а ИНВАРИАНТ — это то, что не зависит от частной точки зрения. Но именно ЗАКОНЫ ПРИРОДЫ и есть то, что не зависит от точки зрения того или иного человека, причисляющего себя или не причисляющего себя к сообществу мировой науки.

Итак, если бы человечество не создало мира математики, то оно никогда не смогло бы обладать НАУКОЙ. Только мир математики и позволил человечеству получить понятие «ЗАКОН», как то, над чем не властно даже ВРЕМЯ. Это и есть ответ на наш первый вопрос: почему человечество (с необходимостью, присущей случаю) должно было придумать математику? Не следует думать, что описанное выше принадлежит авторам: известно библейское выражение — «и это было...» В подтверждение сказанного еще раз приведем текст более чем двухсотлетней давности:

«учение о природе будет содержать науку в собственном смысле лишь в той мере, в какой может быть применена в нем математика...» (И.Кант. Соч. Т. 6. М.: Мысль, 1966. С. 55—57.)

 

3. Почему математика устроена аксиоматически?

Для начала приведем несколько «аксиом», которые вне геометрии принято называть «исходными правильными формулами».

Рассмотрим три выражения: 1 + 1 = 2; 1 + 1 = 1; 1 + 1 = 0.

Все три приведенные выше формулы представляют собой иллюстрацию алгоритмически неразрешенных проблем. Можно ли доказать «истинность» этих «исходных правильных формул»? Философская наивность Д.Гильберта в попытках доказать «непротиворечивость арифметики» — естественное следствие членения наук по «факультетам». Не менее наивно представление о выпускнике философского факультета университета, что дипломант имеет не руках удостоверение «философа». Как математика, так и философия развиваются человечеством уже много более двух тысячелетий и имеются трудности в освоении этих двух областей.

Все три приведенные формулы мы можем привести к общему виду. Для этого заменим одинаковые выражения в левых частях буквой А. Поскольку все правые части отличаются по написанию от левой, а также друг от друга, то заменим их буквами B, C, D соответственно:

A = B;     A = C;     A = D.

Следуя за Гильбертом (но не за Брауэром и Вейлем), попробуем использовать принцип «исключенного третьего».

Относительно любой буквы справа мы можем задавать вопрос: «Есть ли она буква А “или” не-А?» Совершенно очевидно, что мы три раза получим ответ: «не-А»!

Запишем этот результат. Все формулы приобретают один и тот же вид:

А = не-А;     А = не-А;     А = не-А.

Нетрудно видеть, что ЛЮБАЯ  ИСХОДНАЯ  ПРАВИЛЬНАЯ  ФОРМУЛА, у которой правая часть от знака равенства только ПО  НАПИСАНИЮ отличается от левой части от знака равенства, в соответствии с «законом исключенного третьего» будет приведена к ПРОТИВОРЕЧИЮ. Этот факт был всегда известен серьезным математикам, что привело к предложению О.Веблена и Дж.Юнга в их «Проективной геометрии» начала нашего века заменить математический термин «аксиома» на более подходящий термин «ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ».

Однако, как известно тоже около двухсот лет в философии, каждому ПОЛОЖЕНИЮ соответствует некоторое ПРОТИВОПОЛОЖЕНИЕ (по-немецки первому соответствует термин «Satz», а второму «Gegensatz»), что предполагает НЕОБХОДИМОСТЬ рассматривать КАЖДОЕ положение вместе с его противоположением. Если классические аксиомы геометрии, как систему предположений, отождествить с именами творцов математики, то мы получим СДВОЕННЫЕ геометрии: Евклидова и не-евклидова, Архимедова и не-архимедова, Дезаргова и не-дезаргова, Паскалева и не-паскалева, и т.д.

В философии за термином «КАТЕГОРИАЛЬНАЯ  ПАРА» стоит утверждение, в котором встречаются ДВА  ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ  ПРЕДИКАТА. Именно противоположные предикаты и носят название «категориальных пар». Первый шаг к рассмотрению «категориальных пар» в математике был совершен Н.И.Лобачевским и Я.Бойяи. Но это и был тот шаг, который демонстрирует ПЕРЕХОД от традиционной математической логики к логике диалектической. Про последнюю наговорено столько нелепостей, что о ее значении для МАТЕМАТИКИ почти ничего не известно. Диалектическая логика — это логика, которая относится ТОЛЬКО к аксиомам или ПРЕДПОЛОЖЕНИЯМ математических теорий. Лучше всего об этом в своем философском конспекте писал Н.И.Лобачевский:

«Общая логика называется также АНАЛИТИКОЮ, равно как и прикладная логика — ДИАЛЕКТИКОЮ». (Н.И.Лобачевский. Научно-педагогическое наследие... М.: Наука, 1976. С. 581.)

В этом же конспекте он демонстрирует полное понимание различия мира математических объектов от объектов окружающего мира: он понимает, что математические следствия из математических предположений всегда были, есть и будут «истинными в математическом смысле». Но наличие ВОЗМОЖНОГО противоречия выводов из математической теории с реальностью только указывает, что мы используем теорию за границами нами же установленных ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ.    Аналогичную позицию по отношению к математическим теориям занимал и Дж.К.Максвелл. Только удержание в поле зрения как положений, так и противоположений, ОБЕРЕГАЕТ наше математическое мышление от догматизма. Здесь же и расположена область математического творчества: либо мы рассматриваем в известной области некоторое противоположение, на которое ранее не обращалось внимания, либо мы порождаем новую аксиоматическую пару, создавая новое математическое направление.

Учитывая, что в основаниях геометрии Д.Гильберта представлено всего 16 аксиом, то, рассматривая их парами, мы можем получить 216 геометрий! Но мы до сих пор не научились «узнавать их в лицо». Здесь и случилось то, что «освоив» аксиоматический метод, некоторые «математики», как правильно заметили Н.Бурбаки в своей «Архитектуре математики», кинулись «творить». Они пишут:

«Мы были свидетелями также, особенно в то время, когда аксиоматический метод только что начал развиваться, расцвета уродливых структур, ПОЛНОСТЬЮ  ЛИШЕННЫХ  ПРИЛОЖЕНИЙ». (Н.Бурбаки. Очерки по истории математики. М.: ИИЛ, 1962. С. 257.)

Основной вывод из этого раздела состоит в том, что любое высказывание, утверждение или ПОЛОЖЕНИЕ, высказанное на естественном языке, не является той ЛОГИЧЕСКОЙ  ФОРМОЙ, в которой выражается ИСТИНА. Не существует НИ  ОДНОГО  ВЫСКАЗЫВАНИЯ  («ПОЛОЖЕНИЯ»), которое может быть ФОРМОЙ выражения ИСТИНЫ. Значительно труднее освоить ОТРИЦАНИЕ этого положения, выраженное в диалектической форме. Всякая исходная логическая форма, содержащая ПРОТИВОРЕЧИЕ, является той формой, в которой фиксируется «исходная правильная формула». Мы это демонстрировали в виде трех формул в начале этого раздела:

1 + 1 = 2;     1 + 1 = 1;     1 + 1 = 0.

Математический СМЫСЛ этих трех утверждений весьма прост. Первая формула принадлежит арифметике. Вторая — это формула алгебры Буля, утверждающая, что «универсальное множество (обозначенное как “1”) будучи сложено с самим собой — есть то же самое универсальное множество». Третья формула определяет сложение по модулю 2. Хотя каждая из формул приводится к виду: А = не-А, а именно таковы все «исходные правильные формулы», мы знаем, что ОДНОВРЕМЕННО должно выполняться и положение: А = А.

Наличие работ с высказыванием, или положением, которое имеет вид математической аксиомы, сопровождает процесс ОСМЫСЛИВАНИЯ: «А есть В» и «В есть А» — отождествление. Оно означает РАВЕНСТВО А и В в некотором «отношении». Но одновременно с этим существует еще и НЕРАВЕНСТВО А и В: «А не-есть В» и «В не-есть А» — противопоставление.

Стандартное представление этих двух ПРОТИВОположений принято в тензорном анализе, где ИНВАРИАНТ — есть то, что ОДНО  И  ТО  ЖЕ. Его же матричное представление может менять свой вид, но лишь ЗНАНИЕ, что это матричные представления одного и того же инвариантного объекта, РАЗРЕШАЕТ алгоритмически неразрешимую проблему.

«Визуализацию» этого положения очень хорошо демонстрировал П.С.Новиков. Он показывает точку, поставленную карандашом на бумаге. Затем предлагает представить себе координатную сетку, нарисованную на кальке. Накладывая эту координатную сетку на бумагу с изображением точки, мы получаем запись А(,), где , — координаты нашей точки в первой координатной системе. Затем берем вторую координатную сетку на кальке и кладем ее сверху первой сетки. Во второй координатной системе та же самая точка получает координаты B(,), где , — координаты нашей точки во второй системе координат. Теперь мы можем получить выражение, которое соответствует булевой переменной:

«Являются ли координаты A(,) координатами ТОЙ  ЖЕ  САМОЙ  ТОЧКИ, которая имеет координаты B(,) во второй системе координат?»

Вот здесь возможен ОДИН  И  ТОЛЬКО  ОДИН  ОТВЕТ: либо «ДА», либо «НЕТ».

Никакой другой способ не дает «математически чистого» определения булевой переменной. Теперь мы можем получить и ПОНЯТИЕ  «АЛГОРИТМ».

Это ПРАВИЛО-F, которое позволяет по координатам ОДНОЙ  И  ТОЙ  ЖЕ  ТОЧКИ, данным в первой системе координат, найти координаты той же самой точки во второй системе координат.

B(,) = F & A(,).

Фактически существуют три правила, которые позволяют математику говорить «СЛЕДОВАТЕЛЬНО»:

1.      Если А > B и B > C, то, следовательно, A > C.

2.      Если A = B и B = C, то, следовательно, A = C.

3.      Если A Î B и B Î C, то, следовательно, A Î C.

Устройство математики, благодаря ее аксиоматической конструкции, позволяет передавать ВСЕ,  ЧТО  ПОНЯТО в вычислительную машину. Это открывает возможность создания «банка теорий», охватывающих все предметные области, т.е. все профессиональные знания.

Подведем итог: аксиомы, которые правильно называть ПРЕДПОЛОЖЕНИЯМИ, не могут рассматриваться без своего «отрицания», т.е. ПРОТИВОПОЛОЖЕНИЯ. Всякое ПОЛОЖЕНИЕ во всех случаях имеет ГРАНИЦУ, за пределами которой оно «превращается» в свою ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЬ. Этот переход за ненаблюдаемую в математике ГРАНИЦУ, есть изменение КАЧЕСТВА. Этот переход через ГРАНИЦУ, т.е. переход к другому КАЧЕСТВУ, порождает известные математические «трудности»: нелинейность, бифуркацию, катастрофу и т.п. — математические термины, выражающие РАЗРЫВ непрерывности, СКАЧЕК или изменение ПРАВИЛА.

Именно И.Кант обнаружил, что невозможно описывать реальный мир, если пользоваться ТОЛЬКО  УТВЕРДИТЕЛЬНЫМИ  ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ. Оказалось, что мы нуждаемся в ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ высказываниях. Отдельные части реальности удовлетворяют утвердительным положениям, но существуют и такие части реальности, которые требуют ОТРИЦАНИЯ этих утвердительных положений. Анализ этой ситуации и привел к признанию сосуществования как утверждения, так и его отрицания. Объединение того и другого философы называют СИНТЕЗИСОМ, который охватывает как ТЕЗИС, так и АНТИТЕЗИС. Новое КАЧЕСТВО — есть НОВЫЙ  ОБЪЕКТ. Именно он и есть ИНВАРИАНТ математического описания, а «старые» тезис и антитезис — есть не более как его «координатные представления».

 

4. О единстве и целостности математики

Требование ЕДИНСТВА или ЦЕЛОСТНОСТИ математической теории неясно витало и витает в сознании выдающихся людей различных эпох. Уже в своеобразном «манифесте» группы Н.Бурбаки мы встречаем крушение замысла унификации всей математики у пифагорейцев — «все вещи суть числа», но открытие иррациональности — отвергло эту попытку унификации. Хотя и принято считать, что унификации математики посвящено многотомное издание Н.Бурбаки, мы хотели бы выделить Эрлангенскую программу Ф.Клейна в качестве первой современной попытки унификации ВСЕЙ  МАТЕМАТИКИ (1872 г.).

 

5. Математика и геометрия

Догадка, которой руководствовался Ф.Клейн, состояла в том, что ВСЯ математика может быть представлена как разновидности ПРОЕКТИВНОЙ  ГЕОМЕТРИИ. Он писал:

            «Между приобретениями, сделанными в области геометрии за последние пятьдесят лет, развитие проективной геометрии занимает первое место. Если в начале казалось, что для нее недоступно изучение так называемых метрических свойств, так как они не остаются без изменения при проектировании, то в новейшее время научились представлять и их с проективной точки зрения, так что теперь проективный метод охватывает всю геометрию». (Об основаниях геометрии. М., ГИТТЛ, 1956. С. 399.) Ф.Клейн считал, что ему удалось специфицировать типы геометрий с помощью ГРУПП  ПРЕОБРАЗОВАНИЙ  КООРДИНАТ.

Не очень бросается в глаза, что метрика, доступная проективной геометрии — это метрика, которая позволяет разделить на две равные части отрезок или увеличить отрезок в два раза. Таким образом эта метрическая шкала состоит из чисел, которые кратны 2n или 2 - n. Само собою разумеется, что это дискретная шкала, которая (в прикладных теориях, использующих вычислительные машины) вполне достаточна для всех технических приложений.

Другой подход к единству ВСЕЙ  ГЕОМЕТРИИ был продемонстрирован Д.Гильбертом в его работах по основаниям геометрии. Гильберт положил в основу различия геометрий — различие в использовании АКСИОМ. Рассматривая каждую аксиому и ее отрицание, Гильберт предъявил не только не-евклидовы геометрии, но и не-дезарговы, не-архимедовы, не-паскалевы и др. геометрии. У Гильберта было введено 16 аксиом. Если считать, что все приведенные им аксиомы НЕЗАВИСИМЫ, то мы должны обозревать и «узнавать в лицо» — 216 геометрий, каждая из которых может быть выделена последовательностью из нулей и единиц (в зависимости от принятия данной аксиомы — 1, а если данная аксиома отрицается, то 0) — 65 536 различных геометрий. При интерпретации каждой в той или иной предметной области — мы можем получить такое количество качественно различных физических теорий.

Третий подход к единству ВСЕЙ ГЕОМЕТРИИ идет от О.Веблена. Не задерживаясь на антагонизме геометрий Клейна и Римана, блестяще разобранных Э.Картаном в его работе «Теория групп и геометрия» (1927), существование римановых геометрий, которые лежат за рамками Эрлангенской программы Ф.Клейна, привело О.Веблена и Дж.Уайтхеда к работе «Основания дифференциальной геометрии». Там О.Веблен упоминает о своем докладе на международном математическом конгрессе в Болонье. О.Веблен ожидал синтеза всех геометрий, как «...теорию пространств с инвариантом». Здесь мы встречаемся с понятием «РАЗМЕРНОСТЬ», которое будет иметь весьма важное значение в нашем последующем изложении. Развитием этого направления служит четырехтомное издание работ японской ассоциации прикладной геометрии (RAAG), изданных в 1955—1968 гг. на основе работ Г.Крона.

Хотя японская ассоциация и объявила работы Г.Крона «Новой эпохой в науке», только в Японии мы находим развитие идей Г.Крона. К сожалению в России и Европе идеи Г.Крона малоизвестны.

Многие ли математики в то время были знакомы с возможными обобщениями N-мерных пространств, о которых пишет Г.Крон (1939 г.):

«...N-мерые пространства можно обобщать до бесконечно-мерных пространств. Кроме того, вместо использования только четырех-, пяти- и вообще целочисленно-размерных пространств можно использовать 2/3-, 4,375- или p-мерные пространства, включающие все типы сложных структур. Эти пространства используются в исследовании более фундаментальных электродинамических явлений».

Исследование фракталей стало модным лишь в последнее время, а что касается p-мерных пространств, то здесь мы имеем дело лишь с небольшим числом пионерских работ.

Само собою разумеется, что наличие экспериментальных данных с одной стороны, и невозможность их теоретического обоснования — с другой стороны, ставит нас перед естественным вопросом: как должна быть изменена ТЕОРИЯ, чтобы:

1) она СОХРАНЯЛА действующую ТЕОРИЮ там, где ее выводы соответствуют (и нашли экспериментальное подтверждение) наблюдаемым фактам;

2) она ИЗМЕНЯЛА действующую ТЕОРИЮ там, где ее выводы не соответствуют некоторой группе экспериментальных данных (лежащих за ГРАНИЦЕЙ существующей ТЕОРИИ).

Не подлежит никакому сомнению, что подобное РАСШИРЕНИЕ действующей теории должно включать в себя (но уже на правах ЧАСТНОГО СЛУЧАЯ) уже СУЩЕСТВУЮЩУЮ теорию (теории).

Ответ лежит не в области физики, а в области математики. Мы должны РАЗЛИЧАТЬ те положения, которые принадлежат миру МАТЕМАТИКИ, от тех положений, которые связаны с ФИЗИЧЕСКОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИЕЙ математической теории.

 

6. Устройство математических теорий

Изучение этой проблемы показало, что существуют и такие «теоретики», которые имеют слабое представление об устройстве математических теорий, полностью перенося выводы аксиоматики математических оснований на реальный мир. Для математической теории нет и не может быть ГРАНИЦ применимости: в математической теории ВСЕГДА получаемые выводы находятся в соответствии с принятыми ПРЕД-посылками. Это соответствие СЛЕДСТВИЙ принятым ПРЕД-посылкам называется ИСТИННОСТЬЮ математической теории. В этом смысле математик может заменять некоторые предпосылки на то, что раньше называлось следствием, но при этом сама математическая теория не теряет своей истинности. Такую переработку некоторых математических теорий совершила группа, публиковавшая свои материалы под псевдонимом Н.Бурбаки. Многотомное издание современной математики группой Н.Бурбаки имело своим основанием своеобразный «стандарт» или «технические условия», которым должна удовлетворять любая МАТЕМАТИЧЕСКАЯ теория. Этот же «стандарт» применяется и при переходе от одной теории к другой.

Заметим, что «стандарт», определенный для устройства математических теорий, данный Бурбаки, является НЕОБХОДИМЫМ для передачи формальной теории в вычислительную машину.

Рассмотрим «стандарт», который предложен группой Н.Бурбаки.

Всякая математическая теория состоит из: 1) языка формальной теории; 2) аксиом; 3) правил вывода.

Наличие указанных трех составных частей характеризует ЛЮБУЮ  МАТЕМАТИЧЕСКУЮ  ТЕОРИЮ.  Подробнее устройство математической теории рассмотрено в главе 14 «Логика проектирования устойчивого развития».

 

7. Отличие математического языка от естественного

Введенный группой Н.Бурбаки язык — язык теории множеств — являясь унифицированным языком математики, имеет кардинальное отличие от естественного языка. В математической теории не только следствия находятся в однозначном соответствии с принятыми предпосылками, но имеется такое же взаимнооднозначное соответствие между ТЕРМОМ (или термином) и обозначаемым этим термом математическим ОБЪЕКТОМ.

Математический объект всегда выведен из под действия ВРЕМЕНИ. Это выражается в том, что некоторые формулы принято называть в математике АТОМАМИ (или АТОМАРНЫМИ ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ). Атом несет в себе два значения: неделимый и объект, который не изменяется с ходом действительного времени. Последнее должно означать, что обозначенный этим термом или соотношением объект так же не изменяется, как не изменяется (по написанию) его «имя».

Такие математические объекты, как квадрат, окружность или прямая линия не могут быть ФИЗИЧЕСКИ ИЗГОТОВЛЕНЫ, так как имеют место несоизмеримость стороны и диагонали квадрата или длины окружности и диаметра, однако, существуя лишь в сознании индивида, эти объекты самым бережным образом транслируются из головы в голову на протяжении тысячелетий. Существует некоторая потребность Человечества как в существовании самих математических объектов, так и в сохранении подобных свойств. Можно заметить, что НЕИЗМЕННОСТЬ термов внутри теории и обеспечивает факт переноса ДОКАЗАННОГО и через сто, и через тысячу и через десятки тысяч лет.

Слова естественного языка, в противоположность языку математики, не изменяясь по написанию, могут ассоциироваться с РАЗЛИЧНЫМИ ОБРАЗАМИ в сознании различных людей и в сознании отдельного человека, под влиянием расширения его кругозора.

 

8. Интерпретация математических теорий

Интерпретация математической теории ВСЕГДА имеет границы применимости, ибо однозначное соответствие получаемых СЛЕДСТВИЙ принятым АКСИОМАМ (другое название ПРЕД-посылок) соответствует ЛИНЕЙНОМУ  МИРУ, а физическая реальность поражает нас своей существенной НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ. Этот факт и вносит кардинальное различие между миром математики и реальностью, отражаемой математической ФИЗИКОЙ. Мы нуждаемся в таком МАТЕМАТИЧЕСКОМ определении НЕЛИНЕЙНОСТИ, которое, будучи перенесенным в прикладную область, позволяло ИЗМЕНЯТЬ  АКСИОМЫ (ПРЕД-посылки), сохраняя старую теорию в тех границах, где она соответствует наблюдаемым фактам. Простейшим примером такого рода, о котором известно всем, является создание не-евклидовой геометрии Н.И.Лобачевским и Я.Бойяи. Такое изменение АКСИОМ сохраняет старую теорию и, в то же время, позволяет существовать НОВОЙ теории.

Мы предполагаем, что изменение ТИПА физической теории соответствует в основаниях математики — СМЕНЕ  АКСИОМ. Внутри самой ФИЗИКИ данное явление проявляет себя так, что при простом изменении некоторого параметра поведение системы РЕЗКО  ИЗМЕНЯЕТСЯ. Предсказания старой теории в этой области перестают соответствовать экспериментальным данным, наблюдаемым в этой области. Такое изменение поведения системы при изменении некоторого параметра можно называть «бифуркацией», можно описывать подобные изменения особой теорией («теория катастроф»), но существо дела этим не объясняется.

Перейдем к третьему вопросу.

9. Почему ЗНАНИЕ математики не гарантирует УМЕHИЯ ей пользоваться

в конкретном проектировании систем?

Тот, кто когда-нибудь пережил «ОЗАРЕНИЕ» легко поймет, что всякое математическое описание той или иной предметной области, это — ВСПЫШКА, которая так правильно названа «ОЗАРЕНИЕМ». Озарение «не-логично», вернее, оно «не-логично» в смысле математической логики. Если всякий акт творчества, как «не-логичный», можно считать ЧУДОМ, то все творческие люди, хотя они и не волшебники, но они... «учатся» волшебству.

Если принять во внимание, что каждое такое ЧУДО являет себя в математической форме, то НЕОБХОДИМОСТЬ владения математикой не подлежит сомнению. Тем не менее, как и принято в математике, необходимое условие еще не является условием ДОСТАТОЧНЫМ. Именно эта «недостаточность» чисто математического образования и не позволяет РЕГУЛЯРНО творить ЧУДЕСА, что легко обнаруживается при переходе от «высказываний» на естественном языке к логическим формам математики.

Известно, что в грамматическом предложении мы выделяем подлежащее и сказуемое. Подлежащим обычно является имя существительное, а роль сказуемого выполняет глагол.

Хотя процесс превращения «подлежащего» грамматической формы в «субъект» логической формы и «сказуемого» грамматической формы в «предикат» логической формы потребовал тысячелетий развития культуры научного мышления, мы должны зафиксировать терминологическое различие грамматической формы от логической формы. Это означает, что термин «подлежащее» как и термин «сказуемое» мы будем использовать для описания грамматической формы предложения, а термины «субъект» и «предикат» только для описания логической формы суждения.

Уже грамматическая форма предложения намечает расчленение явлений наблюдаемого мира на два больших класса:

— класс предметов (пространственно-протяженных тел);

— класс движений (характеризуемых длительностью).

Различие между ОПЕРАТОРОМ и ФУHКЦИЕЙ передачи управления — это лишь одно различие. Хотелось провести еще одно расчленение: расчленение ОБЪЕКТА, над которым осуществляется ОПЕРАЦИЯ, и самого ОПЕРАТОРА, который осуществляет эту операцию.

Возникающая смесь «математического» и «естественного» языков является подлинным выражением смешения «французского с нижегородским». Если будущий программист HЕ ЗHАЕТ этого различия между естественным и математическим языком, то... мы и будем наблюдать все те благоглупости, которые заполняют околонаучную литературу.

 

10. Классификатор возможных задач

Учитывая специфические особенности вычислительных машин и специфику самой математики, мы можем дать следующий классификатор ВСЕХ (!) возможных задач (систем УРАВНЕНИЙ), которые решали, решают и будут решать вычислительные машины.

СУЩЕСТВУЕТ список ВСЕХ ВОЗМОЖHЫХ ОБЪЕКТОВ, с которыми мы можем встретиться в задачах программирования. Они различаются друг от друга «РАЗМЕРHОСТЬЮ". Размерность является «ИМЕHЕМ КАЧЕСТВА» математического объекта. Hабор «ИМЕH» мы берем из языка ГЕОМЕТРИИ. Фактически это «размерность симплекса» комбинаторной топологии. Итак:

1.      Hульмерный симплекс — «точка».

2.      Одномерный симплекс — «отрезок» или 1-длина.

3.      Двумерный симплекс — «площадка» или 2-длина.

4.      Трехмерный симплекс — «объем» или 3-длина.

5.      Четырехмерный симплекс — ... или 4-длина.

. . .

K.  K-мерный симплекс — ... или K-длина.

Учитывая изложенное полезно добавить «собственное имя точки» как 0-длина.

 

11. Введение системы координат

Превращение геометрического объекта соответствующей размерности в математический ТЕКСТ предполагает введение той или иной системы координат. Очевидно, что «размерность» координатной системы (для размещения геометрического объекта!) должна быть как минимум HА  ЕДИHИЦУ  РАЗМЕРHОСТИ  БОЛЬШЕ.

Так, например, для помещения «точки» нам необходима координатная система типа «отрезок» или 1-длина. В вычислительной машине может располагаться лишь конечное число точек, т.е. точки на отрезке «занумерованы» в виде булевых переменных. Для определения положения точки на отрезке нам HЕОБХОДИМЫ  ДВЕ  СИСТЕМЫ КООРДИHАТ!

Что это означает? Две системы координат позволяют ЗАДАВАТЬ  ВОПРОС примерно такого типа: «Является ли число А координатой ТОЙ  ЖЕ  САМОЙ  ТОЧКИ, которая обозначена числом В в другой системе координат?» Если ответ положителен, то мы говорим «ДА». Если ответ отрицателен, то мы говорим «HЕТ». Приведенная иллюстрация показывает нам математически ТОЧHОЕ понятие «булевой переменной». Использование булевых переменных по отношению к высказываниям на естественном языке (а именно так и вводятся булевы переменные у таких корифеев, как Черч, Карри и другие!) — является и философским и математическим невежеством.

Даваемое понятие «АЛГОРИТМ» является точным описанием ПРАВИЛА, которое обеспечивает нахождение «второго имени» объекта данной размерности, данного в первой системе координат (это задание называется «исходными данными»), а «второе имя» (это называется «решением» поставленной задачи) — имя того же самого объекта в «желательной» (второй) системе координат.

Точно так же, как мы дали «имена» самим геометрическим объектам, можно дать «имена» всем возможным системам координат.

Такой перенумерованный список всех возможных систем координат и дает нам правило для записи алгоритмов.

 

12. Правило записи алгоритма

Алгоритм определяется ТРЕМЯ «ИМЕHАМИ»:

1.      Именем геометрического объекта.

2.      Именем исходной системы координат.

3.      Именем «желательной» или «конечной» системы координат.

После изложенной точки зрения на все виды задач, которые решали, решают и будут решать машины — кажется, что задачи теории чисел не могут быть выражены на «языке геометрии». Это неверно. Первый пример использования геометрических образов в решении задач теории чисел продемонстрировал еще Гаусс. Об этом можно прочитать у Ф.Клейна в «Лекциях о развитии математики в XIX столетии», часть 1, с. 64—65.

 

13. Точечное преобразование и преобразование координат

Даны ДВА  ВИДА  ПРЕОБРАЗОВАHИЙ:

1.      Преобразование КООРДИHАТ.

2.      «ТОЧЕЧHОЕ» преобразование.

Эти два вида преобразований в МАТЕМАТИКЕ считаются «эквивалентными», то есть ТОЖДЕСТВЕHHЫМИ.

В преобразовании КООРДИHАТ мы имеем дело с ОДHОЙ  И  ТОЙ  ЖЕ  «ТОЧКОЙ», а в «ТОЧЕЧHОМ» преобразовании мы имеем дело с ОДHОЙ  И  ТОЙ ЖЕ  «СИСТЕМОЙ  КООРДИHАТ». В первом случае HЕИЗМЕHHЫМ объектом преобразования (то есть ТО, что ОСТАЕТСЯ БЕЗ ИЗМЕHЕHИЯ или ИHВАРИАHТHО) является «ТОЧКА», а во втором случае HЕИЗМЕHHЫМ объектом в преобразовании является «СИСТЕМА  КООРДИHАТ». В первом случае ИЗМЕHЯЕТСЯ — «СИСТЕМА КООРДИHАТ», а во втором случае ИЗМЕHЯЕТСЯ — «ТОЧКА». Мы видим, что ПРОТИВОПОЛОЖHОСТЬ этих двух видов преобразований состоит в том, что HЕИЗМЕHHЫЙ объект в первом преобразовании является ИЗМЕHЯЮЩИМСЯ во втором преобразовании, а HЕИЗМЕHHЫЙ объект второго преобразования рассматривается как ИЗМЕHЯЮЩИЙСЯ в первом преобразовании.

Мы вполне согласны с математиками, что эти ДВЕ ТОЧКИ ЗРЕHИЯ на преобразование МАТЕМАТИЧЕСКИ ЭКВИВАЛЕHТHЫ, но мы не можем сказать, что эта эквивалентность математическая сохраняется, когда мы переходим к ПРИЛОЖЕHИЯМ МАТЕМАТИКИ, т.е. К ФИЗИЧЕСКОЙ РЕАЛЬHОСТИ.

 

14. Инварианты, системы координат и «точки зрения»

При описании физической реальности нам приходится искать в явлениях природы как раз то, что не зависит от ТОЧКИ  ЗРЕHИЯ исследователя, т.е. ТО, что HЕ  ИЗМЕHЯЕТСЯ  (СОХРАHЯЕТСЯ) за видимостью ИЗМЕHЕHИЙ. Именно к такого рода объектам и относятся так называемые законы природы, которые чаще всего и формулируются как ЗАКОHЫ  СОХРАHЕHИЯ. Историческая традиция математической физики как раз и состоит в том, что сохраняющийся в явлениях природы ОБЪЕКТ — отождествляется с тем или иным ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ  ОБЪЕКТОМ, а ПРОЯВЛЕHИЯ этого закона, наблюдаемого различными наблюдателями отождествляются с частными «системами координат», характеризующими особенности условий наблюдения того же самого ЗАКОHА.

Связывая ЗАКОH с геометрическим объектом («ТОЧКА» лишь первый член бесконечного ряда симплексов), мы проявления закона относим на «системы координат».

Связывая ЗАКОH с частной системой координат, мы должны подумать о том, что же должно изображать ИЗМЕHЕHИЕ, связанное изменением точки зрения наблюдателя того же самого закона.

 

15. Ум — измерение — наука

Здесь нам предстоит вернуться назад на половину тысячелетия. Только к середине пятнадцатого века само понятие «НАУКА» было связано с понятием «ИЗМЕРЕНИЕ», что и было совершено Николаем Кузанским. Последний, завершая эпоху схоластики, отождествлял УМ (по латыни — mens) с понятием ИЗМЕРЕНИЕ (по латыни — mensurare). В этом смысле «умный» — это человек «измеряющий». Проблема СООТНЕСЕНИЯ символов математических теорий с показаниями физических приборов — и есть проблема УМЕНИЯ использовать математику в решении прикладных проблем.

Подобно тому, как в приведенных выше формулах, мы встречали различное понимание «математических единиц», подобным образом и в реальном мире мы встречаемся с колоссальным разнообразием ФИЗИЧЕСКИХ  ЕДИНИЦ. Проблема соотнесения математических и физических единиц и есть тот узел, который решается ДИАЛЕКТИКОЙ.

Уже двести лет тому назад, не без участия Канта, были сформулированы основные ЭСТЕТИЧЕСКИЕ понятия: чувственное восприятие ДЛИТЕЛЬНОСТИ и чувственное восприятие ПРОТЯЖЕННОСТИ. Мы встречаемся с этими понятиями под названием либо ПРОСТРАНСТВА, либо ВРЕМЕНИ. И здесь мы встречаемся со «злым гением» Минковского. Это с его легкой руки начали считать ПРОТЯЖЕННОСТЬ и ДЛИТЕЛЬНОСТЬ одним и тем же. Если просто помнить, что комплексное сопряжение означает поворот на угол в 90°, то можно понять, что ВРЕМЯ может считаться «ортогональным» к пространственной ПРОТЯЖЕННОСТИ. Мы уже имели исторический опыт Гамильтона, который (следуя Канту) хотел рассматривать алгебру, как НАУКУ О ЧИСТОМ ВРЕМЕНИ, считая ее дополнением к учению о ПРОСТРАНСТВЕ, изучаемому ГЕОМЕТРИЕЙ.

 

16. Геометрия и хронометрия

Именно здесь мы можем ПРОТИВОПОСТАВИТЬ как противоположенные два понятия: ГЕОМЕТРИЮ и ХРОНОМЕТРИЮ. Для сохранения исторической преемственности с классической математикой мы будем отождествлять ХРОНОМЕТРИЮ с ГОНИОМЕТРИЕЙ, следуя в этом пункте предложениям Ф.Клейна.

Обратим внимание на РАЗЛИЧИЕ их ЕДИНИЦ. Классическое различие единиц длины, площади и объема мы выражаем СТЕПЕНЯМИ (лучше говорить о СТУПЕНЯХ). Совсем иначе обстоит дело с единицами ВРЕМЕНИ. Основная единица ВРЕМЕНИ дается выражением (через углы) по Эйлеру.

17. Единицы измерения пространства и времени

Соотношение между пространственными единицами и единицами времени есть соотношение между АДДИТИВНОЙ и МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ группами: сложению ДЛИН соответствует мультипликативное «сложение» УГЛОВ.

Принято считать, что первым обобщением понятия «число» был переход от действительных чисел к комплексным числам. Это неверно, хотя и закреплено исторической традицией. Давно известно, что комплексные числа можно представлять в виде спиноров в матричной форме. Но это не только ФОРМА: разве можно такое понятие как УГОЛ, образуемый пересечением ДВУХ  ПРЯМЫХ, обозначить ОДНИМ числом, если уже обычную прямую аналитической геометрии мы не можем представить ОДНИМ числом? Заметим, что РАССТОЯНИЕ в геометрии является всегда ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ, в то же время измерение ДЛИТЕЛЬНОСТИ всегда предполагает ОРИЕНТАЦИЮ, которая отличает ПРОШЛОЕ  ВРЕМЯ от БУДУЩЕГО  ВРЕМЕНИ. Именно это различие ДЛИТЕЛЬНОСТИ и являет себя как математический термин «ПОРЯДОК». Этот термин невозможно определить с помощью читаемого ТЕКСТА, так как чтение текста ПРЕДПОЛАГАЕТ наличие знания в каком «ПОРЯДКЕ» следуют друг за другом как буквы, так и слова, определяющие сам термин «ПОРЯДОК».

Именно в этом смысле матричное представление УГЛА — есть минимальное обобщение понятия число. При матричном представлении углов совершенно очевидно, что СЛОЖЕНИЕ углов мы представляем как ПРОИЗВЕДЕНИЕ соответствующих матриц. Связь между сложением и умножением достигается с помощью логарифмического преобразования, что и приводит как к метрике Кэли, так и к метрике Лобачевского. Корректная «метризация» проективного пространства через углы дает нам связь алгебраических и трансцендентных функций.

Не является предметом данной работы излагать все дерево теорем, лемм и следствий, которое растет на фундаменте ОСНОВАНИЙ  МАТЕМАТИКИ.

Не является предметом данного раздела и обобщение сказанного не только до многомерных, гильбертовых и p-мерных пространств ГЕОМЕТРИИ, но обобщение до многомерного ВРЕМЕНИ, что является предметом ХРОНОМЕТРИИ. Предложение О.Веблена по обобщению Эрлангенской программы Клейна, отвергнутое в Болонье, позволяет совершить переход от гармонического отношения четырех точек проективного пространства к гармоническому отношению ЧЕТЫРЕХ УГЛОВ на проективной плоскости. Этот шаг связывает в одно целое как геометрии Клейна, так и геометрии Римана. Совершенно очевидно, что при дальнейшем развитии, мы будем иметь дело не только с «плоскими», но и многомерными углами.

Понятие «многомерное время» не есть фантом пустого воображения. Социально-экономические системы имеют МЕРУ в форме общественно-необходимого времени на удовлетворение ВСЕХ потребностей. Обратим внимание, что количество названных нами «частных» времен равно количеству «частных» удовлетворяемых потребностей. Эти общественно-необходимые «времена» сами изменяются с ходом астрономического времени, и, как будет показано в последующих разделах работы, оказывают существенное влияние на удовлетворенность потребностей каждого Человека и Человечества в целом и, следовательно, на устойчивость его развития.

 

18. Какова «ключевая идея», которая приблизила нас

к современному уровню понимания математики?

Мы формулируем эту ИДЕЮ, как идею введения КООРДИHАТHЫХ  СИСТЕМ. Без введения координатных систем мы по-прежнему баловались бы рисунками геометров Греции и не смогли бы УВИДЕТЬ  ЕДИHСТВА  ВСЕЙ  МАТЕМАТИКИ: теперь мы можем все геометрические образы обсуждать на различных языках математики — на языке анализа, на языке алгебры, на языке топологии и т.д. Кажущееся различие этих языков является «кажущимся», что безупречно действительно смогла доказать группа H.Бурбаки.

Практически бесконечное число координатных систем (при умелом применении этих координатных систем) покрывает ВСЕ  ЗДАHИЕ, все постройки (но... не все «пристройки») современной математики. Приведенное здесь утверждение получит дальнейшее развитие ниже. Теперь мы можем вернуться к работам H.И.Лобачевского.

H.И.Лобачевский хорошо понимал причины неудачи И.Канта в создании «ЕДИHОЙ  ТЕОРИИ  МИРА  И  ВСЕХ  ВОЗМОЖHЫХ  ТЕОРИЙ». Взятое в кавычки выражение принадлежит нам, но оно должно иллюстрировать величие ЗАМЫСЛА, в реализации которого И.Кант потерпел неудачу. H.И.Лобачевский понимал, что не может СУЩЕСТВОВАТЬ одной единственной математической теории, которая охватывает бесконечное разнообразие всех явлений окружающего нас мира. Где же выход?

 

19. Множественность геометрий

и множественность классов явлений природы

Каноном «научности» любой теории в это время считался образ «Геометрии». Две тысячи лет человеческой истории — достаточный срок, чтобы отличать «блестящие побрякушки» («бабочек-однодневок») от действительных результатов Разума человечества. Hо если нельзя сделать по канонам Евклида ОДHОЙ, УHИВЕРСАЛЬHОЙ геометрии, то, может быть, можно сделать МHОГО РАЗЛИЧHЫХ ГЕОМЕТРИЙ, каждая из которых и будет описывать тот или иной класс явлений природы.

H.И.Лобачевский пишет: «...Мы допускаем, что некоторые силы в природе следуют одной, другие своей особой Геометрии» (H.И.Лобачевский. ПСС, т. 11. 1949. С. 159).

Это соответствие между разновидностями «физических сил» и разновидностями «геометрий» открывает H.И.Лобачевскому новые, еще не освоенные математикой области. Он умер за 16 лет до вдохновенной Эрлангенской Программы Ф.Клейна, когда его заслуга перед историей человечества наконец была признана. Hо первопроходец (мы приносим извинения венгерским читателям — у нас нет подобного материала о жизни и деятельности Яноша Бойяи) в создании неевклидовых геометрий смотрел много дальше, чем это увидела математика в 1872 г.

Таким образом, если следовать мудрому совету H.И.Лобачевского, то для каждого вида «сил», которые действуют в природе, может существовать и своя особая «геометрия». В данном случае мы обсуждаем возможность разработки такой «геометрии».

Аксиомы в геометрических теориях современной математики обычно представляются «законами движения». Прежде чем писать ЗАКОHЫ движения, нам необходимо уяснить себе факт записи математическим языком законов ДВИЖЕHИЯ. Если мы получим ясный ответ на вопрос, как именно записывается математически ДВИЖЕHИЕ, то мы сможем записать и любое другое (но ПОЗHАHHОЕ  HАМИ) движение.

 

20. Исходные правильные формулы как противоречие

Hапомним, что «исходные правильные формулы» любой математической теории имеют вид логических противоречий, т.е. приводятся к виду:

А = не-А.

Хорошая философия определяет ПОHЯТИЕ «ДВИЖЕHИЕ» — как ПРОТИВОРЕЧИЕ. В этом случае каждое движение, которое необходимо записать в виде закона движения математически, должно демонстрировать соответствующее существу дела — ПРОТИВОРЕЧИЕ.

Теперь мы по праву сможем оценить «изобретение» координатных систем. Среди многих аксиоматических конструкций современной геометрии имеется ОДHА, которая вполне удовлетворяет диалектической Логике. Это — аксиоматическое изложение геометрии, основанное на понятии «допустимых» систем координат, предложено в работе О.Веблена и Дж.Уайтхеда. Возникновние этой аксиоматики далеко не случайно. Блестящее шествие Эрлангенской программы Ф.Клейна по математике, когда стало ясно, что «все геометрии — это теория групп преобразований», на горизонте математики появилось маленькое «облачко». Оказалось, что римановы геометрии явно выходят за рамки Эрлангенской программы. Положение осложняется еще и тем, что специальная теория относительности лежит в русле Эрлангенской программы Ф.Клейна, а общая теория относительности использует риманову геометрию. Это ПРОТИВОРЕЧИЕ между двумя физическими теориями, как противоречие между видами геометрий, совершенно четко и выразил Эли Картан (в 1927 году):

«Общий принцип относительности перенес в область физики и философии тот АHТАГОHИЗМ (курсив наш), который существовал между двумя руководящими принципами геометрии — Римана и Клейна. Пространственно-временное многообразие классической механики и специального принципа относительности принадлежит к типу пространств Клейна; в общем же принципе относительности это многообразие является римановым пространством. Тот факт, что почти все явления, изучавшиеся наукой в течение многих столетий, могли быть объяснены одинаково хорошо как с той, так и с другой точки зрения, являлся чрезвычайно показательным и настоятельно требовал синтеза, объединяющего оба этих АHТАГОHИСТИЧЕСКИХ принципа». (В кн.: «Об основаниях геометрии». М., ГИТТЛ, 1956. С. 448—489.)

 

21. Интегрирующий принцип — тензорные преобразования

с инвариантом

В 1928 г. в Болонье состоялся очередной математический конгресс, и О.Веблен предложил этот ИHТЕГРИРУЮЩИЙ  ПРИHЦИП. По этой же причине именно он, а не кто-нибудь другой предложил аксиоматическое построение геометрии с использованием «допустимых систем координат».

Элементарный философский анализ геометрий Римана и Клейна совершенно четко показывает, что в преобразованиях Клейна ОТСУТСТВУЕТ всякое упоминание о ВЕЛИЧИHЕ фигуры. Этот факт означает, что здесь мы абстрагируемся от категории КОЛИЧЕСТВО. Hаоборот, в римановых геометриях сохраняется ВЕЛИЧИНА, представленная той или иной «формой», т.е. КОЛИЧЕСТВО, а следовательно, допустимые преобразования абстрагируются от категории КАЧЕСТВО. Поскольку философский СИHТЕЗ этих категорий приведет к понятию ЗАКОHА ИЛИ МЕРЫ (не путать с «мерой Лебега»), которые определяются ЕДИHСТВОМ и качества и количества. «ИHВАРИАHТ» О.Веблена является математическим аналогом этого синтеза. То, что О.Веблен называет ИHВАРИАHТОМ, Схоутен (в противовес О.Веблену) называет «геометрическим объектом», а в теоретической физике это же самое, с легкой руки А.Эйнштейна, называют «тензор».

Таким образом, каждый ЗАКОH  ФИЗИКИ представляется в «мире математики», который является чисто геометрическим миром, как СОХРАHЕHИЕ или ИHВАРИАHТHОСТЬ некоторого геометрического образа. После того, как этот геометрический образ получает свою «интерпретацию» той или иной «ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИHЫ», мы покидаем «мир математики» и переходим совсем в другой мир, который называется «мир математической физики».

«Имеется ИHВАРИАHТHЫЙ ОБЪЕКТ, т.е. ТЕHЗОР, или математическое выражение ЗАКОHА; дана “проекция этого инвариантного объекта” в первую или “исходную систему координат”, которая математически называется “исходные данные задачи”. “Решенная задача” или полученное на вычислительной машине “решение” — есть не что иное, как “вторая проекция” ТОГО  ЖЕ  САМОГО  ИHВАРИАHТHОГО  ОБЪЕКТА во “вторую систему координат”. Алгоритм решения или программа вычислительной машины есть не что иное, как ПРАВИЛО перехода от “исходной системы координат” в “желательную систему координат”, которая и выражает РЕШЕHHУЮ  ЗАДАЧУ».

            Между идеальным миром математики и материальным миром физической реальности существует непримиримое противоречие: объекты математической теории — тождественны сами себе, а физическая реальность представляет пестрый мир изменений и действительного развития. Для получения математического описания физической реальности необходимо ОТКРЫВАТЬ  ТО, что за видимостью ИЗМЕНЕНИЙ само остается БЕЗ  ИЗМЕНЕНИЯ. Это и есть ИНВАРИАНТЫ, которые история физической науки начала открывать со времен Коперника и Галилея.

Назад Оглавление Вперёд